《简明量子力学》第十章的学习笔记
量子隐形传态
为了方便起见省略 \(|\rangle\).
考虑 Alice 有一个处于偏正态 \(\phi=\alpha0+\alpha 1\) 的光子，然后想要通过一些信息来把这个光子的信息传递给 Bob.
除了直接通过量子信道之外，还有一个方法，是量子隐形传态.
Alice 可以先制备一对处于纠缠态的辅助光子 \(\gamma_{00}=\frac{1}{\sqrt{2}}(00+11)\). 于是加上这个原本的光子，这三个光子组成了 \[ \Phi_0=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha(000+011)+\beta(100+111)) \] 然后 Alice 可以把第三个光子用量子信道传给 Bob.
接下来 Alice 对自己有的两个量子进行一次 CNOT 门操作（第一个光子为控制比特），再对第一个 bit 进行 H 门操作，得到：
通过 CNOT 门： \[ \Phi_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha0\otimes (00+11)+\beta 1\otimes (10+01)) \]
通过 H 门： \[ \begin{aligned} \Phi_2=&\frac{1}{2}(\alpha(0+1)\otimes (00+11)\\&+\beta (0-1)\otimes (10+01))\\ =&\frac{1}{2}[00\otimes (\alpha 0+\beta 1)+01\otimes (\alpha 1+\beta 0)\\ &+ 10\otimes (\alpha 0-\beta 1)+11\otimes (\alpha 1 -\beta 0)] \end{aligned} \]
于是只要 Alice 将观测结果用经典方法发给 Bob，就能用根据这个观测结果用简单的门来从得到的光子制备出 \(\phi=\alpha 0+\beta 1\)，.
注意到相比于经典通信，这个信道是安全的，因为发送的光子不携带关于 \(\phi\) 的信息；另一方面，相比于直接量子信道传输，我们也可以增加纠缠光子的数量来提升稳定性.
量子加密 / BB84
Alice 公开声称手里只有四种偏振态的光子：\(0,1,0_x,1_x\)，分别用 \(\phi_{00},\phi_{10},\phi_{01},\phi_{11}\) 表示. 测量方式 \(M_z\) 用 0 表示，\(M_x\) 用 1 表示.
，随机声称并保密，然后传给 Bob；Bob 随机用 \(M_x,M_z\) 测量然后用公共经典信道和 Alice 讨论，最后保留一些 bit 作为密码.
具体方法：
- Alice 想要加密 K 位的二进制数 \(a\) 并传输给 Bob.
- Alice 随机产生一个 K 位的二进制数 \(b\).
- Alice 给 Bob 发送一系列偏振态的光子，其中第 \(k\) 个光子的偏振态为 \(\phi_{a_kb_k}\).
- Bob 随机产生一个 K 位的二进制数 \(b'\)，并据此决定每个光子的测量方式，并进行测量. 以此记录后得到 K 位二进制数 \(a'\).
- Alice 公布 \(b\). 显然若 \(b_k=b'_k\) 则一定有 \(a_k=a'_k\). 故获得了期望 \(K/2\) 个位置的 \(a\).
实际中，由于有噪声所以可能会破坏纠缠光子对，所以得到的 \(b_k=b'_k\) 不一定直接 imply \(a_k=a'_k\).
所以为了传递 \(n\) 个 bit 的信息，Alice 会先发 \(4n+\delta\) 个 bit，然后得到约 \(2n\) 个 bit 的 \(b_k=b'_k\)，然后再通过经典纠错方法来随机选出 \(n\) 个.