1. 恒定磁场
磁场的电流受力
这些都是高中知识. 我觉得我曾经超级无敌会，但是现在的我今昔非彼.
洛伦兹力：
- 电荷在磁场中受力 \(\vec F=q\vec v\times \vec B\).
- 在均匀磁场中运动的粒子速度与磁场垂直故产生圆周运动，频率 \(f=\frac{B}{2\pi}\frac{q}{m}\)，正比于荷质比.
安培力：
- 电流元 \(Id\vec l\) 所受安培力 \(d\vec F=Id\vec l\times \vec B\)，和洛伦兹力是一回事.
- 可以看出来，在匀强磁场中的稳恒电流一般情况下总受力只与开头结尾有关系，可以视作直线.
霍尔效应
- 由于这样的受力，磁场中有电流的固定导体两端存在电势差 \(U_H=k\frac{IB}{d}\).
稳恒电流元的磁场
毕奥- 萨伏尔定律：
对于电流元 \(Id\vec l\)，在距离 \(\vec r\) 处的点 \(P\) 上产生的磁感应强度为
\(d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec l\times \hat r}{r^2}\)，其中 \(\mu_0\) 为真空磁导率.
成平方反比. 如果抛去方向的话，本质上就是 \(\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\vec l\sin \theta}{r^2}\).
看得出来，这就是直线电流的磁场的右手螺旋定则来的.
同样，磁感应强度也拥有叠加原理，需要考虑方向.
无限长载流直导线的磁场
\(B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\).
圆环导线圆心处的磁场
\(B=\frac{\mu_0 I}{2R}\).
载流线圈与磁矩
一个通电的小线圈，从远处看，其相当于一个小磁铁，和电偶极子的模型差不多. 为了描述这件事情，引入磁矩 \(m=IS\)，方向为法向.
其本质含义是，任意均匀磁场对平面载流线圈的磁矩为 \(\vec M=\vec m\times \vec B\).
分析小线圈的磁场等价于分析电偶极子的电场，\(\vec B\approx \frac{\mu_0 \vec m}{2\pi r^3}\).
在均匀磁场中，小线圈不受力；但是因为有力矩而产生转动，效果是驱使磁矩和磁场的方向相同.
恒定磁场的无源有旋性
注：本章探讨的皆为稳恒电流，需要满足闭合（或者无限远处闭合）. 空间运动的电荷和电流元显然不是.
磁通量：\(\Phi=\int \vec B\cdot d\vec S\)，和电通量一样，为磁感应强度穿过面的积分.
磁感应强度的高斯定理
- 对于任意闭合曲面，\(\Phi=0\).
- 该定理在任意条件下成立，非稳恒条件也一样.
磁感应强度的安培环路定理
磁感应强度沿任意闭合有向环路的环量，等于穿过该环路的电流强度的 \(\mu_0\) 倍.
\(\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu_0 \sum I\)
均匀无限长圆柱体导线电流磁场
首先应该是绕着导线的垂直于 \(\hat r\) 方向的磁场，成右手螺旋关系.
取圆形环路垂直导线，由安培定理知 \(2\pi rB=\mu_0 I\frac{\min(r^2,R^2)}{R^2}\).
故 \(r<R\) 时与 \(r\) 成正比，\(\ge R\) 时候成反比.
均匀无限大直向面电流的磁场
磁场应当平行于电流面，并且与电流方向平行，并且电流面两侧磁场方向相反.
取小矩形环路，由安培定理知 \(2LB=\mu_0 Lj_m\)，故 \(B=\frac{\mu_0 j_m}{2}\).
均匀无限长圆柱体环形电流磁场 / 通电螺旋管
只有管内有沿管内平行的磁场.
取穿过管的小矩形回路，由安倍定理知 \(LB=\mu_0 j_m\)，故 \(B=\mu_0 j_m\).
2. 磁介质
磁化
磁化：电子绕着原子核转动及其自旋构成了天然的载流线圈. 和电偶极子类似，介质平时不显磁性，但是在外加磁场中，呈现出一定的磁性，称为磁化.
和电介质不同，有顺磁质和逆磁质.
磁化电流：由于分子环流定向排列，叠加形成等效的宏观电流，称为磁化电流. 磁化电流是一种等效电流，不能发生传导转移.
磁化强度：\(\vec M=\frac{\sum \vec m}{\Delta V}\)，即单位体积内分子磁矩的矢量和.
磁化面电流：\(\vec j_{\sigma m}=\vec M\times \hat n\).
#### 磁场强度
磁化现象存在的时候，总磁场是磁介质磁化电流的磁场和外磁场的叠加 \(\vec B=B_0+B_m\).
和电介质类似，定义磁场强度：\(H=\frac{1}{\mu}B=\frac{1}{\mu_0\mu_r} B\). 进而，\(M=x_mH\)，其中 \(\mu_r=1+x_m\).
同样也有磁场强度的安培定理：\(\oint Hdl=\sum I\).
圆柱磁介质包围的长直导线
取同心环路，有 \(2\pi r H=I\)，故 \(H_r=\frac{I}{2\pi r}\).
于是柱外 \(B_r=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\)，柱内 \(B_r=\frac{\mu_0\mu_r I}{2\pi r}\).
对于界面，界面两侧磁感应强度法向分量一定连续；若无传导电流，则切向方向也连续.
铁磁质
铁磁性：铁、镍等物质磁性很强，远超一般物质，称为铁磁性. 铁磁性起源于量子效应引起的原子间的相互作用，使得小范围内原子磁矩自动定向排列，称为磁畴.
铁磁质中，一般 \(M>>H\). 需要注意的是铁磁质中 \(\mu_r\) 不为常数，所以需要老老实实按照 \(M=\frac{B}{\mu_0}-H\) 计算.
磁滞回线：由于磁畴在吞并和旋转中有内部摩擦，其磁化过程不可逆. 不断增大 \(H\) 的时候，\(B\)（或者 \(M\)）会饱和，称为磁饱和；然后再把 \(H\) 减小到 0 之后，\(B\)（或者 \(M\)）还会剩下一点，称为剩磁。从图像上来看，无论如何 \(B\)（或者 \(M\)）的变化都落后于 \(H\) 的变化，称为磁滞现象.
铁磁材料在高温下（居里温度）也会丧失磁性.
在交变磁场中，铁磁材料由于反复磁化，产生热量，损耗能量等于磁滞回线的面积.
铁磁环中的剩磁场
剩磁的磁化强度为 \(M\) 的铁环，环体内的 \(B,H\).
磁化电流密度为 \(j=M\)，磁感应强度 \(B=\mu_0j=jM\)，\(H=\frac{B}{\mu_0}-M=0\).
3. 电磁感应
感应电动势
法拉第定律：\(\epsilon=-\frac{d\Phi}{dt}\)，闭合回路中感应电动势正比于回路磁通量的变化率的负值
楞次定律：感应电流的效果，是反抗引起感应电流的原因
感生电动势：导体不动，由于磁场变化而在导体中产生的电动势
感生电动势的来源是感生电场（感生电场不依赖于线圈是否存在）：
\(\epsilon_i=\oint \vec E_v d\vec l\).
感生电场是有旋的，是非保守场，其中 \(\oint E_vd\vec l=\epsilon_i=-\iint \frac{dB}{dt}dS\).
感生电场是无源的，所以有高斯定理：\(\oint E_vd\vec S=0\).
动生电动势：在恒定磁场中，运动导体产生感应电动势
- 由于法拉第定律，可以推出 \(d\epsilon=(\vec v\times \vec B)d\vec l\).
eg.
长直电流磁场中的运动导体：长直电流旁边 \(l_0\) 垂直放着导体 \(l\)，平行于电流运动，速度 \(v\)
从磁场安培环路定理知电流产生磁场 \(B(x)=\frac{\mu_0 I}{2\pi x}\).
取导体上一段小导体 \(dx\)，知其感应电动势 \(d\epsilon=-\frac{v\mu_0I}{2\pi x}\)，积分起来得到 \(-\frac{\mu_0 v I}{2\pi}\ln \frac{l_0+l}{l_0}\).
均匀磁场中的旋转线圈：方形线圈在均匀磁场中匀速旋转，设其电阻无限大
电阻无限大故没有感生电流，故线圈中磁场只取决于外磁场.
在 \(t\) 时刻，线圈磁通量 \(\Phi=Blw\sin \omega t\)，求导知 \(\epsilon=BLw\omega\cos \omega t\).
柱形均匀磁场产生的涡旋电场：半径为 \(R\) 的圆柱体空间内 \(B_t=B_0t\)，求涡旋电场
根据对称性，涡旋电场为绕 \(z\) 的同心圆且大小只和 \(r\) 有关.
根据环路定理列式 $$.
导体中的电磁感应
涡流：处在变化中磁场中的导体会产生电流（涡旋电场->感生电动势->涡流）
电磁阻尼：磁场中的运动导体会受到阻碍.
抗磁性：导体中产生的感应电流会抵抗导体内磁场的变化，于是面对高频交变磁场会有磁屏蔽.
趋肤效应：通有交变电流的导线中导线表面电流密度较大.
电感
自感通量
- 回路电流的磁场在自身回路中的磁通量.
- 一般情况下，根据比尔萨伏尔定律，线圈中的磁场决定于电流，磁通量应与电流大小成正比
- 令这个比值为自感系数 \(L\)，则 \(\Phi=LI\).
- 多匝线圈的全通量定义为 \(\Psi=\sum \phi_i\)，于是可以定义线圈的自感系数 \(L\)，则 \(\Psi=LI\).
自感电动势： \(\epsilon=-\frac{d\Phi}{dt}=-L\frac{dI}{dt}\).1
计算螺旋管的自感系数：\(l,S,n\)
用无限长螺线管模型来分析，内部磁感应强度为 \(B=n\mu_0I\)；于是加起来得到 \(\Psi=n^2\mu_0IlS\)，于是 \(L=n^2\mu_0lS\).
如果填充磁介质，那么会对应变大 \(\mu_r\) 倍.
互感现象
- 两个线圈互相也能发生感应. \(\Psi_1=L_1I_1+M_{12}I_2\)，其中 \(M_{12}\) 为互感系数.
- 可以证明 \(M_{12}=M_{21}\). 在无漏磁的理想情况下，\(M=\sqrt{L_1L_2}\).
电容和电感的充放电问题
电容充放电问题：
满足似稳条件的电容，有 \(i(t)=C\frac{d u(t)}{dt}\)
考虑充电过程（与电阻 \(R\) 串联）：
\(u_R(t)+u_C(t)=\epsilon\)，即 \(Ri_R(t)+u_C(t)=\epsilon\)，即 \(RC\frac{du_C(t)}{dt}+u_C(t)=\epsilon\).
解微分方程得到 \(u_C(t)=\epsilon(1-e^{-t/\tau})\)，其中 \(\tau=RC\) 为阻容电路的时间常数.
考虑放电过程：
\(RC\frac{du_C(t)}{dt}+u_C(t)=0\)，并且初值 \(u_C(0)=u_0\).
解微分方程得到 \(u_C(t)=u_0e^{-t\tau}\).
\(\tau\) 越大，充放电时间越长.
电感的充放电问题：
满足似稳条件的电感，有 \(u_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}\)
考虑充电过程 （和电阻 \(R\) 串联）
\(L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=\epsilon\)，故 \(i_L(t)=\frac{\epsilon}{R}(1-e ^{-t/\tau})\). 其中 \(\tau=L/R\) 为 RL 电路的时间常数.
磁场能
磁介质存在的情况下，磁场能量密度 \(w_e=1/2\vec B\vec H=1/2B^2/\mu_0\).
自感磁能 \(W_m=\frac{1}{2}LI^2\)，互感磁能 \(W_m=MI_1I_2\).