0. 简要数学常识
球面面积：\(S=4\pi r^2\).
球体体积：\(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
1. 静电场
库仑定律
库仑定律：两个静电荷之间的相互作用力 \(F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q_1q_2|}{r^2}\).
一个静电荷的电场强度 \(\vec E=\frac{\vec F}{q_0}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat r\).
电场的叠加原理：\(\vec E=\sum_{i=1}^n \vec E_i\).
这些都是简单的高中基础知识.
电偶极子
对于一对很近的等量异号电荷，计算其中轴线/延长线上的电场（无论是中轴线还是延长线，电场方向都平行于电荷连线）：
- 中轴线：\(E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2q}{r^2+l^2/4}\frac{l/2}{\sqrt{r^2+l^2/4}}\approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{ql}{r^3}\).
- 延长线：\(E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{(r-l/2)^2}-\frac{1}{(r+l/2)^2})\approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2ql}{r^3}\).
实际上，无论在哪电场都和 \(r^3\) 成反比.
电通量与高斯定理
电通量：\(\Phi=\oint E\cdot dS\)，即穿过一个面的电场线总数（场强积分）.
高斯定理：\(\oint E\cdot dS=\Phi=\frac{1}{\epsilon_0}\sum q_i\)，即穿过一个闭合面的电通量等于该闭合面包裹的总电荷量. 从场论的角度，电场为有源场.
高斯定理可以用来解决几个经典模型（下面的表示均未写方向，方向是平凡的）：
等电荷球体（总电荷 \(Q\)）电场
选球面为高斯面，得到 \(4\pi r^2E=\frac{\min(r,R)^3}{R^3\epsilon_0} Q\).
故 \(r<R\) 时 \(E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Qr}{R^3}\) 正比于 \(r\)；
\(r\ge R\) 时 \(E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\) 反比于 \(r^2\).
无限大平面（面密度 \(\sigma\)）电场
选垂直穿过平面的一个柱体为高斯面，得到 \(2SE=\frac{1}{\epsilon_0}S\sigma\).
于是，得到在同方向上为匀强电场，\(E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\).
无限长直线（线密度 $ $）电场
选平行穿过直线的一个柱体为高斯面，得到 \(2\pi r hE=\frac{h\lambda}{\epsilon_0}\).
故 \(E_r=\frac{\lambda}{2\pi r \epsilon_0}\).
两个无限长平行平面电场
叠加原理即可.
环路定理
静电场力是保守力，也就是说，对电荷的做功和路径无关.
我们取静电场中任意环路，电场力的做功为 \(0\). 从数学的角度，\(\oint E\cdot dl = 0\). 从场论的角度，电场为无旋场，处处旋度为 0.
电势
电势：将正单位电荷从一点挪到零电势点的过程中，电场力做的功. \(U_P=\int_P^{O} E\cdot dl\)，是一个标量.
电势也用有叠加原理，并且是更为简单的标量的叠加原理，但是需要注意条件是等电势点相同.
点电荷电场的电势分布
运用定义，选择零电势点为无穷远，则电势 \(U_P=\int_P^{\infty}\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat e_rd\vec r=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r}\)，与 \(r\) 成反比.
带电 \(Q\) 球面电场的电势分布
首先先计算场强. 内部场强为 0，外部由高斯定理知 \(\vec E=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}\hat e_r\).
于是 \(r\ge R\) 时，\(U_r=\int_r^{+\infty} \frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{Q}{r^2}dr=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r}\).
\(r<R\) 时，\(U\) 恒为 \(\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}\).
无限大均匀带点平面的电势分布
由于是稳恒电场，所以无法选无限远处作为零电势点. 选择平面上任意一点为零电势点，则知电势为 \(U_x=-\frac{\sigma |x|}{2\epsilon_0}\).
均匀带电圆环的轴线上电势分布
一个好方法是直接利用点电荷电场的电势分布，然后用叠加原理积起来.
\(U_x=\int \frac{\lambda dl}{4\pi\epsilon_0 r}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0\sqrt{R^2+x^2}}\).
2. 导体，电容，电介质
导体的电荷分布
导体的一个重要因素是：导体内电场处处为 \(0\)，整个导体是一个巨大的等势体，静电平衡，宏观电荷只能分布在导体表面上.
导体表面外附近空间的场强和导体表面垂直，场强大小与该处导体表面的电荷面密度成正比. 导体的电荷面密度是由导体的形状和位置所唯一确定的，需要解泊松方程：所以对于简单的题根据对称性猜就好了.
带电导体球的空间电势分布
猜测电荷分布均匀分布在球面. 根据前文得到电势分布.
已知电势为 \(U_0\) 求电荷分布
仍然猜测均匀分布在球面，然后推得 \(Q=4\pi \epsilon_0R U_0\).
等面积的电量 \(Q_A\) \(Q_B\) 的平行导板的电荷分布
令从左到右四个面密度 \(\sigma_1\dots\sigma_4\).
于是可以列出方程：\(\sigma_1S+\sigma_2S=Q_A\)，\(\sigma_3S+\sigma_4S=Q_B\)，以及两个电板内电场为 0：\(\frac{1}{2\epsilon_0}(\sigma_1-\sigma_2-\sigma_3-\sigma_4)=\frac{1}{2\epsilon_0}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3-\sigma_4)=0\). 然后解方程即可。
一些其他问题
相邻导体：一个不带电的导体，被一个带正电导体接近后会发生什么？
- 原本不带电导体电势为 0，但是被带正电导体接近后，为了保证自身静电平衡，会在那个导体附近产生负的面电荷；然后正的面电荷的电力线只能终于无穷远，电势大于 0.
接地：接地后电势永远为 0.
- 孤立导体接地后，电量为 0.
- 在上述相邻导体的 case 中，导体电势由于接地仍未 0，但是需要注意为了保证自身电场为 0，仍然带负电.
导体空腔问题：
- 考虑导体有个空腔. 如果腔内无电荷，则空腔内场强为 0，导体的电荷只能分布在外表面上，可以当作空腔不存在.
- 如果空腔内有电荷，则空腔内电荷和内表面电荷代数和为 0，外表面的电荷量则就变成了 \(Q+q\). 外表面以外的空间在腔内的总场强为 0，无影响. 这种现象称为静电屏蔽. 腔内腔外的电荷分布分别存在自己的独立的唯一解.
电容
从水流的角度出发，电势相当于水面高度，电容相当于水桶的底面积.
定义式：\(C=\frac{Q}{U}\).
电容器存储的静电能量 \(W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}QU\).
孤立导体球的电容
\(U=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0R}\)，于是得到 \(C=4\pi\epsilon_0 R\).
平行板电容器的电容
采用两个无限大均匀带电面的计算，得到 \(E=2\times \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\)，于是 \(U=Ed=\frac{\sigma d}{\epsilon_0}\).
代入得到 \(C=\frac{S\sigma}{\frac{\sigma d}{\epsilon_0}}=\epsilon_0\frac{S}{d}\).
可以发现，平行板电容器面积越大，间距越小，电容越大.
圆柱体电容器的电容
也就是把两个带电面卷成两个圆柱面.
\(E=\frac{Q}{2\pi rL\epsilon_0}\)，积分得 \(U=\int_A^B Edl=\frac{Q}{2\pi L\epsilon_0}\ln \frac{R_B}{R_A}\).
于是 \(C=\frac{2\pi \epsilon_0L}{\ln(R_B/R_A)}\). 在 \(R_B-R_A<<R_A\) 时用等价无穷小可以得到 \(\approx \epsilon_0 \frac{S}{d}\).
电容的串并联：
- 并联 \(C=\sum c_i\).
- 串联 \(\frac{1}{C}=\sum \frac{1}{c_i}\).
电介质
绝缘体中没有自由移动的电子，里面的分子可以想象成很多电偶极子. 当我们把绝缘体放进静电场中，绝缘体中的分子的电偶极子会整齐向同一个方向排列，虽说内部的一正一负还是会抵消，但是最终在表面上会根据电场裸露出一层正电荷和负电荷.
极化强度
- 对于这样的电介质，定义极化强度 \(P\) 为所有电偶极矩的矢量和.
- 定义电极化率 \(x_e\). \(P=\epsilon_0x_eP\).
电介质常数：
- 这层束缚电荷会在电介质中产生一个和外部电场反向的一个内部电场 \(E'\). 所以电介质内部的总电场 \(E=E_0-E'\). 不同的电介质对电场的削弱不同，定义相对电容率 \(\epsilon_r\)，得到 \(E=\frac{E_0}{\epsilon_r}\).
- 所以当我们把电介质塞入电容器中的时候，电场减小 \(\epsilon_r\) 倍，于是电容就增大了 \(\epsilon_r\) 倍.
电位移矢量
- 定义（一个没有太多物理含义的）电位移矢量 \(D=\epsilon_0\epsilon_rE=\epsilon_0E+P\).
- 有关于 \(D\) 的高斯定理：\(\oint D\cdot dS=Q\)，其中 \(Q\) 为系统内的自由电荷.
- 一般来说，都可以通过高斯定理求 \(D\) 以及真实电场 \(E\) 之后再反求 \(P\).
Eg.
充满介质的平行板电容器
选择柱体高斯面，其中一个面在介质内，一个面在导体内.
导体面的 \(D\) 显然为 0. 运用高斯定理，\(DS=\sigma_0S\)，得到 \(D=\sigma_0\). 然后代入 \(E=\frac{\sigma_0}{\epsilon_0\epsilon_r}\)，\(U=\frac{\sigma_0 d}{\epsilon_0\epsilon_r}\)，\(P=\sigma_0-\frac{\sigma_0}{\epsilon_r}\).
无限大电介质中的带电球面
导体球内显然仍然保持 \(E=0\).
对于球外，取球形高斯面，\(4\pi r^2 D=Q\)，求得 \(E=\frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0\epsilon_r}\).
可以发现大多情况下也就是多乘了一个 \(1/\epsilon_r\). 但是这并不是对所有情况成立. 一般情况下，如果等势面间充满均匀且各向同性的电介质，那确实是对的.
3 静电能与电场能
静电能
电荷在外电场下的静电势能为 \(W=qU\).
带电体系的静电能，为在没有外电场的情况下，各带电体分解成电荷微元相互无限原理受到的静电力做功之. \(W=\frac{1}{2}\sum q_iU_i\).
推广到连续的情况直接换成积分即可.
故电容器的储能 \(W=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}CU^2\).
电场能
电场能适用于任何电场：\(w_e=\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2\) 定义为电场的能量密度.
电介质中的电场能：
- 由于引入了 \(D\)，所以我们确实也可以写成 \(w_e=\frac{1}{2}D\cdot E\).
- 这个也可以拆成 \(\frac{1}{2}\epsilon E^2+\frac{1}{2}EP.\) 前者为电场的能量，后者则是极化相关的能量.
4 电流，电源，电阻，电路
电流
电流：电流为单位时间穿过某个截面的电量 \(I=\frac{dq}{dt}\).
电流密度：是一个矢量，方向为电流方向，大小为该点垂直于电流方向的截面的单位面积电流强度：\(dI=\vec j \cdot dS\).
电流是电荷的定向运动形成的. 取电荷运动方向的面元 \(\Delta S\)，载流子平均速度 \(v\)，单位体积内的平均载流子数 \(n\)，则有
- \(\vec j=nq\vec v\).
- \(\Delta Q=qnv\Delta t\Delta S\).
稳恒电流：电流密度不随时间变化. 对于任意闭合面，稳恒电流满足 \(\oint \vec j\cdot d\vec S=0\). 稳恒电流的电流线为首尾相连的闭合密度曲线.
电阻
存在稳恒电流的导体内电场不为 0，伴随着能量的转移. 电路中两点的电势差称为电压.
欧姆定律：稳恒条件下，通过导体的电流和导体两端的电压成正比 \(I=GU\).
一般来说，导体电阻与导体长度成正比，和截面大小成反比.
微分欧姆定律：从微观上讲，\(j\) 的产生是因为有电场，成正比 \(j=\sigma E\)，其中电导率为电阻率的倒数 \(\sigma=\frac{1}{\rho}\).
Eg. 稳恒 \(I\) 穿过相连导体 \(A\) \(B\)，电导率 \(2\sigma\) \(\sigma\)，求电场强度.
\(J=I/S\)，\(E_A=I/(2\sigma S)\)，\(E_B=I/(\sigma S)\).
在有电动势的情况下，\(j=\sigma(E+K)\).
直流电路的基尔霍夫方程
这个很简单.