2025-10-23
连续随机变量
分布函数：\(F(x)=P(X\le x)\). 满足有界，单调，右连续. 这三条性质等价于函数为分布函数.
概率密度函数：若存在函数 \(f(x)\) 使得 \(f(x)\) 的变上限积分 \(\int_{-\infty}^x f(t)dt=F(x)\)，则为其概率密度函数.
连续随机变量的分布函数为连续函数.
期望和方差的定义是自然的，直接积一下即可. \(Var=E(X^2)-E(X)^2\) 的性质仍然存在.
Markov 不等式也仍然存在：对于非负随机变量满足期望 \(>0\)，则 \(P(X\ge aE)\le \frac{1}{a}\).
Pf：\(E=\int xf(x)dx\ge \int_{aE}^{+\infty} aEf(x)=aEP(x\ge aE)\).
切比雪夫不等式同理：对于 \(\sigma>0\) 有 \(P(|X-E(X)|\ge \sigma)\le \frac{1}{\sigma^2}\).
对于连续随机变量 \(X\)，严格单调函数 \(y=g(x)\) 和有连续导数的反函数 \(h(y)\)，则 \(Y=g(X)\) 的概率密度函数为（在概率非 0 时）\(f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|\).
常见连续分布
高斯分布
记作 \(x\sim \mathcal N(\mu,\sigma^2)\).
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}\).
标准化时，\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)，\(P(|X|\le 2)=0.9545\)，\(P(|X|\le 3)=0.9973\).
p.s. 伯努利分布在标准化后变成拉德马赫分布（随机符号）.
指数分布
记作 \(x\sim Exp(\lambda)\).
\(f(x)=[x>0]\lambda e^{-\lambda x}\)
\(F(x)=[x>0](1-e^{-\lambda x})\).
期望：\(\frac{1}{\lambda}\)，方差：\(\frac{1}{\lambda^2}\)
注意到 \(P(X>x)=e^{-\lambda x}\)，故指数函数显然拥有无记忆性.
伽马分布
记作 \(x\sim \Gamma(\alpha,\lambda)\)
\(f(x)=\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}\).
期望：\(\frac{\alpha}{\lambda}\)，方差：\(\frac{\alpha}{\lambda^2}\)
取 \(\alpha=1\) 即指数分布.
伽马函数性质：
\(\Gamma(n+1)=n!\)
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt{\pi}\)
卡方分布
\(\Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\) 得到卡方分布 \(\chi^2(n)\).
期望：\(n\)，方差：\(2n\)
\(n=1\) 时候，有\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^{-\frac{x}{2}}\).
另一方面，这个也是 \(X\sim \mathcal N(0,1)\) 时 \(X^2\) 的分布.
可用式子结论
高斯分布
\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}=\sqrt{2\pi}\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}x=0\)
\(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}x^2=\sqrt{2\pi}\)
指数分布
\(\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}=1-e^{-\lambda x}\)，对于 \(x>0\).
\(\int_{0}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x}x^n=\frac{n!}{\lambda^{n}}\).
伽马分布
\(\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}dx\).
\(\Gamma(\alpha+1)=\int_0^{+\infty} x^{\alpha}e^{-x}dx\).
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt{\pi}\).
\(\int_0^{+\infty}\frac{\lambda}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}dx=1\). 证明考虑代 \(y=\lambda x\).
卡方分布
\(\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}dx=\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x}{2}}dx=1\).
\(\int_0^{+\infty}\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x}{2}}dx=3\). 这些都为 \(\chi^2(1)\) 的直接结论.