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陪集：对于 \(G\) 的子群 \(H\)，以及 \(G\) 中元素 \(x,y\)，若 \(y\in Hx\) 则记 \(x\) 左等价于 \(y\)；\(y\in xH\) 则记 \(x\) 右等价于 \(y\). \(Hx=\{hx\mid h\in H\}\) 称为右陪集，\(xH=\{xh\mid h\in H\}\) 称为左陪集.
定义 \(H\backslash G\) 为所有右陪集 \(\{Hg\}\) 组成的集合，\(G/H\) 为所有左陪集 \(\{gH\}\) 组成的集合. 由由于映射 \(Hg\to (Hg)^{-1}\) 给出这两个 集合的双射，所以这两个集合的基数相等，记为 \((G:H)\)，称为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数. 一个看上去显然的结论：\(|H|\cdot (G:H)=|G|\). 这其实也告诉我们所有 \(|H|\) 都整除 \(|G|\).
对于群内元素 \(\sigma\)，定义 \(ord(\sigma)=|\langle \sigma\rangle|\) 为 \(\sigma\) 的阶. 这等价于说 \(\sigma\) 最少 \(ord(\sigma)\) 次幂得到 \(1\). 由上述结论知 \(ord(\sigma)\mid n\)，并且素数大小的群为循环群.
轨道：\(Gx=\{gx\mid g\in G\}\). 稳定子：\(Stab_G(x)=\{g\in G\mid gx=x\}\). 同样可以定义左右等价对应的商集 \(G\backslash X=\{Gx\}\)，\(X/G=\{xG\}\). 将 \(X\) 分解为若干个轨道，称为 \(X\) 的轨道分解.
若所有 \(Stab_G(X)\) 的交为 \(1\)，则称 \(G\) 作用忠实. 即不存在 \(g\) 稳定所有的 \(x\).
如果所有 \(Stab_G(X)\) 都为 \(1\)，则称 \(G\) 作用自由. 即不存在 \(g\) 稳定任何的 \(x\).
现在考虑轨道和稳定子的关系. 令 \(H=Stab_G(x)\)，则有 \(H\backslash G\to Gx\) 的双射，其中 \(gH\to gx\).
令 \(X\) 的所有轨道的稳定子为 \(H_1,\dots,H_n\)，那么每个轨道的大小就是 \((G:X_i)\)，于是有 \(|X|=\sum_{i=1}^{n} (G:H_i)\).
定义 \(X^G=\{x\in X\mid \forall g\in G, gx=x\}\) 为 \(X\) 在 \(G\) 作用下的不动点，其对应了只有一个元素的轨道 \(Gx=\{x\}\).
对于 \(p\) 群（\(|G|=p^m\) 的群，\(p\) 为质数），有 \(|X|\equiv |X^G|\pmod p\). （对 \(X\) 做轨道分解，对于轨道 \(Gx\)，若 \(x\) 不为不动点，则 \(|Gx|\mid |G|=p^m\) 为 \(p\) 倍数. 所以 \(|X|\equiv |X^G|\pmod p\).）并且若 \(G\) 非平凡，则其中心 \(Z_{G}\) 也不平凡.（定义群作用 \(x\to gxg^{-1}\)，于是 \(Z_G\) 相当于不动点集合，证毕）.
Cauchy：对于 \(p\) 为 \(|G|\) 的素因数，则存在 \(p\) 阶循环子群. 证明：考虑令 \(X=\{(g_1,\dots,g_p)\mid \prod g_i=1\}\)，以及循环位移群 \(Z/pZ\). 考虑 \(X^{Z/pZ}\) 的意思即为 \(\{(g,\dots,g)\mid g^p=1\}\). 另一方面，我有 \(|X|=|G|^{p-1}\equiv 0\pmod p\) 且 \(\{1,1,\dots\}\in X^{Z/pZ}\)，那么也就是说 \(|X^{Z/pZ}|=kp>1\). 所以存在元素 \(g\neq 1\) 使得 \(g^{p}=1\)，即证.
正规子群：\(H\lhd G\)，即 \(\forall g\in G\)，\(gHg^{-1}=H\).
若一个群没有非平凡正规子群，则称群 \(G\) 为单群. 大小为素数的群必然为单群.
对于群内任两个子群 \(H,K\)，令 \(HK=\{hk\}\). 当然 \(HK\) 不一定是子群. 但若是子群，则必有 \(HK=KH\)，这是因为 \(hk\) 可以和 \((hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}\) 一一对应. 并且若 \(HK=KH\)，则也必然是子群. 因为对于 \(h_1,h_2,k_1,k_2\) 存在 \(k_1h_2=h'k'\) 故 \(h_1k_1h_2k_2=h_1h'k'k_2\)，封闭. 取逆类似.
但是如果已知 \(H\) 为正规子群，则 \(HK\) 一定是子群. 考虑 \(hk=kk^{-1}hk=k(k^{-1}hk)\in KH\)，故 \(HK=KH\)，故为子群.
中心化子群：\(Z_{G}(K)=\{g\in G\mid \forall k\in K, gk=kg\}\).
正规化子群：\(N_{G}(K)=\{g\in G\mid gK=Kg\}\).
对于群同态 \(f\)，定义 \(\{g\in G\mid f(g)=1\}\) 为群同态的核. 群同态的核为一个正规子群. 证明：为子群显然，正规性的考虑 \(f(x)f(g)f(x^{-1})=1\) 故 \(xgx^{-1}\in \ker f\).
对于正规子群 \(N\lhd G\). 则 \(G/N\) 成群，其中 \((xN)(yN)=xyN\). 并且有商映射 \(q:G\to G/N\)，\(\ker q=N\).
然后就是诱导同态（几个同构定理）.
对于 \(N\lhd G\)，\(N\subset \ker f\)，则 \(f:G\to G'\) 诱导唯一的同态 \(\bar f:G/N\to G'\)，使得 \(f=\bar fq\).
对于 \(N\lhd G\)，\(N'\lhd G'\) 而 \(f(N)\subset N'\)，则 \(f\) 诱导唯一的同态 \(\bar f:G/N\to G'/N'\) 使得 \(q'f=\bar fq\).
对于 \(N\lhd G\)，带入 \(N=\ker f\) 则有诱导同态 \(\bar f:G/\ker f\to \text{im } f\) 为同构.
半直积：考虑群 \(H,N\)，我们希望在 \(N\times H\) 上定义二元运算，并且能将 \(N,H\) 嵌入这个更大的群 \(G\)，\(G\) 中每个元素都是 \(nh\)，且 \(N\) 为正规子群. 于是 \((nh)(n'h')=n(hn'h^{-1})hh'\)，所以乘法应该定义为 \((n,h)(n',h')\to (n\varphi_h(n),hh')\)，其中 \(\varphi\) 为 \(h\to Aut(N)\) 的群同态. 写作 \(G=N\rtimes_{\varphi} H\). 那么有 \(N\lhd N\rtimes_{\varphi}H\).
例如，对于二面体群 \(D_{2n}\)，转角为 \(2\pi/n\) 的旋转群 \(\langle\sigma\rangle\) 和镜射群 \(\langle\tau\rangle\)，做半直积得到 \(\langle\sigma\rangle \rtimes \langle\tau\rangle=D_{2n}.\)
导出子群：定义 \(G_{der}=\langle aba^{-1}b^{-1}\rangle\). 那么有一些简单性质：其为特征子群，且对于到交换群 \(A\) 的群同态 \(f\) 有 \(G_{der}\subset \ker f\).
群的交换化：即商映射 \(G\to G/G_{der}\). 容易发现这样得到的商群 \(G_{ab}\) 交换.
例如，二面体群 \(D_{2n}\) 的导出子群为 \(\langle \sigma^2\rangle\)，所以其交换化要么是 \(Z/2Z\) 要么是 \((Z/2Z)^{\oplus 2}\).
例如，\(GL(n,F)_{der}=SL(n,F)\)，而其交换话对应其行列式.
参考讲义：李文威-代数学讲义