先考虑所有项都 \(\ge 0\) 的级数.
对于数列 \(a_n\)，定义部分和 \(S_n=\sum_{i=1}^k a_i\). 若 \(\lim_{n\to +\infty}S_n\) 存在，则称其收敛，否则发散.
正项级数可以发现和广义积分大差不差. 但是其实有一个比较重要的区别：若正项级数收敛则 \(a_n\to 0\)， 但对于广义积分而言，收敛并不代表 \(f(x)\to 0\).
一些最基本的判定，比如 Cauchy 准则，比如比较判别，都是和广义积分没区别的. 下面直接看一些独属 于级数的一些方法.
首先是一个使用情况可能更多一些的比较判别. 考虑 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \frac{b_{n+1}}{b_n}\). 那么显然 \(a\) 应该收敛地比 \(b\) 要更好. 于是若 \(b\) 收敛则 \(a\) 收敛，若 \(a\) 发散则 \(b\) 发散. 严谨地证明考虑把这一连串的东西乘起来就是朴素的比较判别.
同样我们可以根据 \(x^l\) 的收敛性，获得极限版本. 考虑 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)，上极限若 \(<1\) 则收敛，下极限 \(>1\) 则发散.
例子：\(a_n=\frac{x^nn!}{n^n}\). 比一下发现是 \(x\times \frac{n^n}{(n+1)^n}\). 转换乘 \((1-\frac{1}{n+1})^n\) 后知道极限即为 \(xe^{-1}\). 难点都在处理极限 \(=1\) 的情形，即 \(x=e^{-1}\). 已知的结论可以告诉我们（运用 Stirling 公式或者数学归纳）\(e^nn!>n^n\)，所以求和肯定不收敛.
然后我们来看另一种判别法. 考虑 \(\sqrt[n]{a_n}\) 的极限 \(l\). 若上极限 \(<1\) 那么就收敛. 否则就算是上极限 \(>1\) 也可以知道发散（因为有无穷多个 \(>1\) 的元素）. 而前者考虑直接放缩 \(a_n\le (l+\varepsilon)^n<1\)，而 \((l+\varepsilon)^n\) 之和是收敛的.
实际上，这两个判别法有点关系. 实际上，对于下极限而言 \(\lim a_{n+1}/a_n\le \lim \sqrt[n]{a_n}\)，而上极限则相反. 证明以下极限为例. 假设下极限为 \(l\)，那么有一个技巧是证明对于任意 \(\varepsilon\)，\(\lim \sqrt[n]{a_n}\ge l-\varepsilon\). 这就好办了，直接用极限的定义知存在 \(N_0\) 使得 \(n>N_0\) 时前后比 \(\ge l-\varepsilon\)，然后还是从最开始往后乘起来就证明好了.
在上述判别法都是 \(1\) 无法判断，并且含有阶乘的时候可以尝试 Raabe 判别法.
我们考虑 \(a_n=\frac{1}{n^p}\). 我们很容易发现这个的无论是前后比还是 \(\sqrt[n]{a_n}\) 都是 \(1\). 但是我们知道在 \(p>1\) 是收敛的而 \(p\le 1\) 发散. 考虑前后比 \(\frac{a_n}{a_{n+1}}=(1+\frac{1}{n})^p=1+\frac{p}{n}+o(\frac{1}{n})\)，如果我们减一后乘上一个 \(n\) 就 \(\to p\).
所以 Raabe 判别法的核心就是，求出 \(\lim n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\)，若 \(>1\) 收敛，若 \(<1\) 发散. 这里可以类似得到上下极限的版本. 但如果 \(=1\) 那还是做不了. 这没什么办法.
下面考虑任意项级数.
我们想得到 DA 判别法在级数上的表现.
Abel 变换：令 \(b\) 的部分和为 \(B\)，则 \(\sum a_ib_i=\sum a_i(B_i-B_{i-1})=\sum B_i(a_i-a_{i+1})+a_nB_n\)，于是绝对值 \(\le (\sum |a_i-a_{i+1}|+a_n)\max |B|\). 若 \(a\) 单调，则 \(\le (2|a_n|+|a_1|)\max |B_k|\).
这立刻得到 Abel 判别法：若 \(a\) 单调有界，\(\sum b\) 收敛，则 \(\sum a_ib_i\) 收敛.
我们也可以得到 Dirichlet 判别法：若 \(a\) 单调收敛至 \(0\)，\(\sum b\) 有界，则同样 \(\sum a_ib_i\) 收敛.
严谨的证明可以通过 Cauchy 准则得到.
还有一个 Leibnitz 级数. 如果 \(a\) 单调收敛至 \(0\)，则 \(\sum (-1)^{n-1}a_n\) 收敛. 这是显然的.