定义 \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) 为 \(\lim_{A\to +\infty}\int_a^A f(x)dx\). 于是我们就可以定义收敛和发散.
并且如果上下都是 \(\infty\) 那么要求从 \(\int_0^{+\infty}\) 和 \(\int_{-\infty}^{0}\) 都收敛. 不然你平移一下可能敛散性就变了.
但是如果 \(\lim_{A\to +\infty}\int_{-A}^Af(x)dx\) 收敛那么有时候也有用，称其为在主值意义下收敛.
这个不是我们主要研究的对象，还是回到最本质的这个广义积分上来.
判断敛散性有若干方法. 第一种是直接求出原函数. 这种方法我们可以得到两个相当重要的敛散性结论：
- \(\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\) 在 \(p>1\) 时收敛，\(p\le 1\) 时发散.
- \(\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln_x)^p}\) 在 \(p >1\) 时收敛，\(p\le 1\) 时发散.
同样，判断极限是否收敛显然也可以使用 Cauchy 准则. 即若对于任意 \(\varepsilon\) 存在 \(\hat A\) 使得 \(\forall a,b>\hat A\) 有 \(|\int_a^bf(x)dx|<\varepsilon\) 那么就有 \(f\) 收敛.
这给我们带来一个显而易见的推论，就是若 \(|f(x)|\le g(x)\)，则若 \(\int g\) 收敛则 \(\int f\) 收敛. 证明由 Cauchy 准则直接得到.
下面是这个放缩的两个例子.
\(\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx\). 放缩成 \(\int_0^{+\infty} e^{-x}dx\).
\(\int_0^{+\infty}\frac{\cos x\sin \frac{1}{x}}{\sqrt{x}}dx\). 将 \(\cos x\) 放缩掉后，再将 \(\sin \frac{1}{x}\) 放缩成 \(\frac{1}{x}\)，变成 \(\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\).
这个结论还可以继续强化. 考虑 \(\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=a\). 则若 \(a\in(0,+\infty)\) 则 \(f,g\) 显然敛散性相同. 而若 \(a=0\)，则只能知道若 \(g\) 敛则 \(f\) 敛；\(a=+\infty\) 则若 \(g\) 散则 \(f\) 散.
下面是这个强化结论的例子.
\(\int_2^{+\infty}\frac{1}{x^p(\ln x)^q}\). 若 \(p>1\)，则可以取 \(\delta>0\) 使得 \(p-\delta>1\). 取 \(g(x)=\frac{1}{x^{p-\delta}}\)，于是 \(f/g=\frac{1}{x^{\delta}(\ln(x))^q}\to 0\)，于是收敛.
\(p<1\) 时同理知发散. \(p=1\) 即之前的经典结论.
接下来介绍一个很有用的 Dirichlet - Abel 判别法. 这个判别法基于第二中值定理.
\(\int_a^Af(x)g(x)dx=f(a)\int_a^{\xi}g(x)dx+f(A)\int_\xi^Ag(x)dx\). 我们要让极限收敛，那么只有两种可能：\(f(a)\) 有界且 \(\int g(x)\) 收敛；或者 \(f(a)\to 0\) 且 \(\int g(x)\) 有界.
于是我们得到了两种判别法. 注意这两者条件都一定要 \(f(x)\) 单调，否则无法使用第二中值定理.
（Dirichlet）若 \(f(x)\) 单调 \(\to 0\)，且 \(|\int_a^{A}g(x)dx|\le M\)，则收敛.
（Abel）若 \(f(x)\) 单调有界，且 \(\int_a^{+\infty}g(x)dx\) 收敛，则收敛.
下面看几个使用 DA 判别法的例子.
\(\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\). 令 \(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(g(x)=\sin x\). 使用 Dirichlet 判别法知收敛.
\(\int_1^{+\infty}\frac{\sin x\arctan x}{x}\). 令 \(f(x)=\arctan x\)，\(g(x)=\frac{\sin x}{x}\). 使用 Abel 判别法知收敛.
绝对收敛和条件收敛：如果 \(\int_a^{+\infty}|f(x)|dx\) 收敛，则称 \(f(x)\) 绝对收敛. 否则如果收敛称为条件收敛.
一个例子是 \(\frac{\sin x}{x}\) 并非绝对收敛. 考虑 \(|\frac{\sin x}{x}|\ge \frac{\sin^2 x}{x}=\frac{1-\cos 2x}{2x}\). \(\frac{1}{2x}\) 发散而 \(\frac{\cos 2x}{2x}\) 收敛，故不收敛.
一个比较复杂的例子：\(I=\int_1^{+\infty}\ln(1+\frac{\sin x}{x^p})\) 的敛散性.
考虑泰勒展开. \(I=\int_1^{+\infty}(\frac{\sin x}{x^p}-\frac{\sin^2x}{2x^{2p}}+o(\frac{1}{x^{2p}}))dx\). 将 \(\sin^2 x\) 化成 \(\frac{1-\cos 2x}{2}\) 后可以将其写成 \(I_1+I_2+I_3\) 的形式，其中 \(I_1=\frac{\sin xdx}{x^p}\)，\(I_2=\frac{\cos2xdx}{4x^{2p}}\)，\(I_3=(\frac{1}{4}-o(1))\frac{dx}{x^{2p}}\). 在 \(p\in(0,\frac{1}{2}]\) 时 \(I_1,I_2\) 收敛而 \(I_3\) 发散，故发散；\(p\in(\frac{1}{2},1]\) 时 \(I_1\) 条件收敛，\(I_2,I_3\) 绝对收敛，故条件收敛；而 \(p\ge 1\) 时绝对收敛.f