一维振动方程
乐器有气（例如管乐器）/弦（弓弦，弹弦，击弦...）/电/体（木琴等）/膜（鼓，卡祖笛）鸣乐器.
弦乐
令 \(u(x,t)\) 表示弦上位置 \(x\) 在时间 \(t\) 的位移. 我们希望知道 \(u\).
设弦受到张力 \(T\)，线密度为 \(\rho\)，令 \(c=\sqrt{T/p}\) 为波速. 则一维振动方程 \(\frac{d^2u}{dt^2}=c^2\frac{d^2u}{dx^2}\).
由于弦两端固定，所以 \(u\) 有边值条件 \(u(0,t)=u(L,t)=0\).
运用神秘数学技巧，解得 \(u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi c}{L}t+b_n\sin\frac{n\pi c}{L}t)\sin(\frac{n\pi}{L}x)\).sweq435
这告诉我们其实弦振动产生的声音一定是无限多个声音的叠加. 令 \(u_n\) 为第 \(n\) 项，令 \(\omega_n=\frac{n\pi c}{L}\)，则利用辅助角公式知道 \(u_n(x,t)=\sqrt{a_n^2+b_n^2}\sin(\omega_nt+\theta_n)\sin(\frac{n\pi}{L}x)\).
称 \(u_n(x,t)\) 为第 \(n\) 个振动模态. 于是第 \(n\) 个振动模态的频率为 \(f_n=\frac{n}{2L}c\). 特别地，\(n=1\) 时 \(f_1=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\rho}}\).
这符合我们的直觉：\(L\) 越大频率越低，\(T\) 越大频率越高，\(\rho\) 越大（粗）频率越低. 但是注意是正比于 $ $.
并且我们发现弦的振动频率虽说有很多，但是都是 \(f_1\) 的整数倍. 将 \(f_1\) 称为基频，相应的声音称为基因. 而 \(n>1\) 的则称为泛音. \(f_2\) 为第一泛音，\(f_3\) 为第二泛音.
令 \(f=f_1\)，则有泛音列（Harmonic series）\(f,\ 2f,\ 3f,\ ...\).
对于固定的 \(n\)，我们看振幅 \(\sqrt{a_n^2+b_n^2}\sin(\frac{n\pi}{L}x)\). 有些位置振幅为 \(0\)，称为波节；而 \(k=1,3,\dots\) 时取到 \(\pm 1\)，称为波腹.
赫尔姆霍兹的泛音列重合理论：音程和谐，相当于泛音列重合多.
管乐
振动主体为空气柱，不满足上述的 \(u(0,t)=u(L,t)=0\).
开口为波腹，闭口为波节.
在开管模型（长笛）下，有 \(\lambda=2L\). 于是开管时泛音列 \(f,2f,3f...\).
而闭管（单簧管）则 \(L\) 只能等于 \(\frac{(2k+1)\lambda}{4}\)，故泛音列只有 \(f,3f,5f...\)，即偶次泛音，并且基频低一倍.
在管乐中有超吹（overblow），即产生泛音列第二项的音. 故长笛超吹得到高八度，单簧管得到高十二度的音.
方波：\(f(x)=\frac{4}{\pi}(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+...)\)
方波和单簧管有所相似，因为泛音列都是只有奇数.
律制
三分损益：从宫（81）开始，乘 4/3 得到徵（108），再乘 2/3 得到商（72），再乘 4/3 得到羽（96），再乘 2/3 得到角（64）. 这就能得到五省音阶.
接着三分损益得到变宫（85）和变徵（57）. 将宫音对 C，则得到七声音阶宫（C），商（D），角（E），变徵（#F），徵（G），羽（A），变宫（B）. 称为雅乐音阶 / 古音阶.
十二律：做 11 次三分损益（其中某一次要连升两次）得到十二个音. 但是显然做到最后显然回不到宫音，称之为旋宫不归.
五度相生：五度比例为 2:3. 不断往上做纯五度. 做 12 次，然后降 7 个八度，得到 \((\frac{3}{2})^{12}(\frac{1}{2})^7\). 这理论上应该得到 C，但是最终回到比 1 多一些的地方. 这个叫毕达哥拉斯音差.
音分：\(1200\log_2(\frac{f_2}{f_1})\). 在平均律中，一个半音为 \(100\) 音分.
平均律中大三度比理想大三度高 14 个音分，而大六度则高 16 个音分.
音乐会音高：A4 = 440Hz. 但演奏的时候也可以随便改.
这是变高过的. 贝多芬时代大概都在 420Hz. 这对女高音很不友好.