2025-03-12
谱定理：对于 \(T\in End(V)\)，\(T\) 为正规算子当且仅当 \(T\) 可酉对角化，即存在 ONB 使得 \(Tv_i=\lambda_iv_i\).
用矩阵形式表达即 \(A^{\dagger}A=AA^\dagger\) 当且仅当存在酉矩阵 \(P\) 使得 \(P^\dagger A P\) 为复对角矩阵.
从右推到左是显然的. 考虑从左推到右. 谱定理的证明会比实数情景简单一些，因为复数域是代数封闭的.
先考虑 \(T\) 自伴的情况. 这个和实数情况是相似的. 引理：\(V_0\) 是 \(T-\)不变子空间，则 \(V_0^\perp\) 为 \(T^*-\) 不变子空间. 证明：若 \(V_0\) 为 \(T-\)不变，则取 \(v\in V_0^{\perp}\)，\((T^*v|v_0)=(v|Tv_0)=0\)，故 \(V_0^\perp\) 为 \(T^*-\)不变子空间.
于是由于复数域是代数闭域所以就随便取一个特征值 \(\lambda\) 和特征向量 \(v\)，然后令 \(V_0=<v>\)，那么由于 \(T=T^*\) 故 \(T^*\) 为 \(V_0^\perp-\)不变子空间，于是可以往下归纳.
然后反自伴其实是一样的. 乘一个 \(i\) 可以直接规到自伴的情况.
然后考虑普通的正规算子 \(T\). 显然我们可以将 \(T=T_0+T_1\) 而 \(T_0\) 自伴 \(T_1\) 反自伴，并且由于 \(T\) 正规所以两者交换，故可同步对角化. 于是完成了证明.
关于自伴算子，还有一个性质就是其特征值都是实数. 考虑取任意特征值 \(\lambda\in C\) 与特征向量 \(v\)，考虑 \((Tv|v)=\bar\lambda (v|v)\)，而另一方面 \((Tv|v)=(v|Tv)=\lambda(v|v)\)，故 \(\lambda\) 一定是实数.
另一个简单的结论是，如果 \(T\) 是酉算子那么 \(|\lambda_i|=1\). 这就很显然了.
运用酉对角化，我们很容易将有关实内积空间的一些理论给照搬到复内积上：
对于 Hermite 形式 \(f\)，\(f\) 正定当且仅当特征值均 \(>0\).
证明大概就由于酉对角化也同时构造了二次型的对角化，于是 \(f\) 等价于 \(\sum \lambda |x_i|^2\).
\(TT^*\) 半正定，且正定当且仅当 \(T\) 满.
\((TT^*v|v)=(Tv|Tv)\ge 0\).
对于(半)正定 \(T\)，存在唯一(半)正定 \(S\) 使得 \(S^2=T\). 记为 \(\sqrt T\).
酉对角化之后特征值开根.
(RU 分解) \(T\) 可逆，当且仅当存在唯一 \(T=RU\) 使得 \(R\) 自伴正定且 \(U\) 酉.
取 \(R=\sqrt{TT^*}\)，\(U=R^{-1}T\).
(SVD 分解) \(A=PIQ^{\dagger}\)，其中 \(P,Q\) 为 \(V,W\) 单位正交基且 \(I\) 为对角矩阵.
\(A^\dagger A\) 有实特征值，开根即可.
参考讲义：李文威-代数学讲义