2025-03-10
对于参数方程给出的封闭曲线 \(x=x(t)\)，\(y=y(t)\)，假设随 \(t\) 增长曲线沿逆时针方向，那么我们有曲线围成的面积 \[ S=\sum_{\lambda(\Delta)\to 0} y_i(x_{i-1}-x_i)=-\sum_{\lambda(\Delta)\to 0} y_i x'(t_i)\Delta t_i=-\int_a^by(t) dx(t) \] 同理，\(S=-\int_a^by(t)dx(t)=\int_a^bx(t)dy(t)=\frac{1}2{[\int_a^bxdy-\int_a^bydx]}\).
对于极坐标给的方程 \(r(\theta)\)，可以推得 \(S=\int_0^{2\pi} \frac{1}{2}r(\theta)^2d\theta\).
现在考虑如何求弧长. 我们先考虑如何定义弧长. 我们分割成若干部分，然后每一个用直线估计. \[ \lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum \sqrt{(x_k-x_{k-1})^2+(y_k-y_{k-1})^2}dt \] 我们声称所有 \(C^1\) 的函数都是可求长的，且 \(=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt\). 证明考虑由于连续所以一直连续，根号相减小于相减后开根，而相减直接可以被一直连续性控制.
同样可以推得极坐标给出的方程，\(L=\int_a^b\sqrt{r(\theta)^2+r'(\theta)^2)}dt\).
旋转体表面积：对于曲线 \(x(t),y(t)\)，考虑将其绕着 \(x\) 轴转一圈得到旋转体. 我们关心这个旋转体的表面积. 我们还是分割成若干部分，然后每一段用圆台估计 \[ \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum \pi[y_{k-1}+y_k]\sqrt{(x_k-x_{k-1})^2+(y_k-y_{k-1})^2}dt \] 仍然所有 \(C^1\) 的曲线都是可以求表面积的，且 \(=\int_a^b2\pi y(t)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt\).
比如我们想要求球的表面积，直接 \(y=\sqrt{R^2-x^2}\)，带进去后发现全都消掉了，剩下一个 \(4\pi R^2\).
投针估 \(\pi\)：平面上若干相隔 \(h\) 的平行线，现随机投 \(N\) 根长度为 \(l\) 的针. 令其中有 \(n\) 根针与平行线有相交，则相交概率约为 \(p=\frac{n}{N}\). 现在考虑如何算出 \(p\). 令针的中心距离平行线为 \(y\in [0,\frac{h}{2}]\)，角度为 \(\theta\in[0,\pi]\)，那么与线相交即 \(y\le \frac{1}{2}l\sin \theta\)，积起来即 \(\int_0^{\pi}\frac{1}{2}l\sin \theta=\frac{2l}{h\pi}\). 于是就可以估算 \(\pi\).