2025-02-26
首先一些显然的，比如可加性，以及 \([a,c]=[a,b]+[b,c]\) 的就不说了.
考虑一个性质：对于在 \([a,b]\) 上 \(f(x)\ge 0\) 的函数，\(\int_{a}^b f(x)dx=0\)，那么有 \(f(x)\equiv 0\).
证明：假如存在 \(f(x_0)>0\)，那么存在一个小邻域使得邻域内 \(f(x)>\frac{f(x_0)}{2}\)，那么这段积分也就 \(>0\)，矛盾.
然后一个最基本的介值定理：对于连续函数 \(f\) 存在 \(\xi\in(a,b)\) 使得 \(f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^b f(x)dx\). 这其实就是连续函数的介质定理，然后再特判掉全相等的情况.
接下来看两个例子.
令 \(I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\)，证明 \(I_n\to 0\).
看上去应该是显然的，因为 \(<\frac{\pi}{2}\) 的部分 \(\sin <1\)，于是当然应该 \(\to 0\). 于是考虑拆成 \([0,\frac{\pi}{2}-\delta]\) 和 \([\frac{\pi}{2}-\delta,\frac{\pi}{2}]\)，那么前者在 \(N\) 足够大的时候可以任意小，后者 \(<\delta\). 然后就好了.
积分意义下的 Hölder 不等式. 即 \(\int_a^{b}f(x)g(x)dx\le (\int_a^b |f(x)|^p)^{\frac{1}{p}}\int_a^b |g(x)|^q)^{\frac{1}{q}}\)，$p,q $ 且 \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).
考虑用积分的定义化为原本的 Hölder 不等式. \(\int_a^b f(x)g(x)dx=\sum f(x_k)g(x_k)\Delta_k\). 将其变化为 \(\sum (f(x_k)(\Delta_k)^{\frac{1}{p}})(g(x_k)(\Delta_k)^{\frac{1}{q}})\) 后直接套用原来的不等式即可.
考虑如何计算定积分. 首先如果存在原函数 \(F(x)\) 使得 \(F'(x)=f(x)\)，那么就可以简单用 \(F(b)-F(a)\) 计算. 证明直接用微分中值定理：\(\sum F(x_i)-F(x'_i)=\sum f(\xi i)\Delta_i\).
但是也有其他的方法直接计算. 分别是运用定积分的换元法和分部积分法.
换元法：定积分的换元法不需要保证 \(\phi\) 函数可逆. 令 \(\phi(\alpha)=a\)，\(\phi(\beta)=b\)，直接进行换元即可：\(\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t))\phi'(t)dt\). 注意这需要 \(f,\phi\in C[a,b]\).
同样我们有分部积分 \(\int_a^b Fg=FG|_a^b-\int_a^b fG\)，其中 \(F,G\) 分别为 \(f,g\) 的变上限积分，即 \(F(x)=\int_a^x f(t)dt\). 如果 \(f=F'\) 那么其实就是不定积分的分部积分. 但要严谨证明这个 \(f\) 未必是 \(F\) 的扩展的办法的话会更加复杂一些.
首先考虑引理 \(\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\int_{x_{i-1}}^{x_i}g(x)dx=\int_a^b f(x)g(x)dx\). 考虑将右边写成极限的形式后，有 \(RHS-LHS\le|\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum f(\xi_i)(\int_{x_{i-1}}^{x_i}g(x)dx-g(\xi_i))|\le\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} M\sum(\omega_g)_k\Delta_k\to 0\). 然后观察到 \(FG|_a^b=\sum F(x_i)(G(x_i)-G(x_{i-1}))+G(x_{i-1})(F(x_{i}-F(x_{i-1})))\). 这步实际上就是先化成差分然后强行拆成两个式子. 然后由引理知道这个就等于 \(\int_a^bFg+\int_a^b Gf\).