2025-02-25
将实内积结构直接扩展到复数域上有一个比较大的问题，就是不能保证 \((v|v)\ge 0\)，于是很多好的性质也就不能保持.
但是也并非没有办法. 注意到对于 \(z\in \mathbb C\)，\(\bar zz\ge 0\)，于是我们就思考能否改变一下乘法，让内积的结构同样保持.
对于拥有加法 \(+\) 和乘法 \(\cdot\) 的复数域上的向量空间 \(V\)，定义一个 \(\odot\) 为 \(z\odot v=\bar z\cdot v\). 然后就可以定义 \(V\) 的共轭向量空间 \(\overline V\) 为将 \(\cdot\) 替换为 \(\odot\) 的向量空间.
注意到首先 \(V\) 做两次共轭还等于自身. 其次 \(V\to \overline V\) 存在同构，只需要映 \(v\) 为 \(\bar v\) 即可（因为 \(\overline{z\cdot v}=\bar z\cdot \bar v=z\odot \bar v\)）.
对于复数域上的向量空间 \(V\) 和 \(W\)，定义半线性映射为满足满足 \(T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2\)，且 \(T(zv)=\bar z Tv\) 的 \(V\to W\) 的映射. 对于 \(V=\mathbb C^n\)，如果我们取标准基 \(e_1,\dots,e_n\)，那么可以认为半线性映射同构于用一个矩阵来乘 \(\bar v\). 因为 \(T(zv)=A\overline{zv}=\bar zA\bar v=\bar zT(v)\).
半线性映射和线性映射之间用共轭联结. \(T(zv)=z\oplus Tv\)，所以 \(V\to W\) 的半线性映射和 \(V\to \overline W\) 的线性映射是一回事情. 同理 \(T(z\odot v)=zTv\)，所以和 \(\overline V\to W\) 的线性映射也是一回事情.
考虑 \(Hom(V_1,V_2)\)，即所有 \(V_1\to V_2\) 的线性映射. 我们知道 \(Hom(V_1,V_2)\) 应该构成向量空间. 现在考虑 \(\overline{Hom(\overline{V_1},\overline{V_2})}\)，这个东西应当等于 \(Hom(V_1,V_2)\). 取 \(T\in Hom(V_1,V_2)\)，其肯定 \(\in \overline{Hom(\overline{V_1},\overline{V_2})}\) 的集合，并且满足加法线性也是显然的，于是只需要验证数乘条件，即 \((z\odot T)(v)=T(z\odot v)\)，那这显然是对的.
然后我们考虑一个叫半双线性形式的东西（Sesquilinear）. 对于所有 \(V\times W\to \mathbb C\) 的映射 \(B\)，若 \(B\) 关于 \(V\) 半线性，关于 \(W\) 线性，那么称 \(B\) 是半双线性形式. 在 \(\mathbb C^n\) 下，取标准基，那么我们有半双线性形式与矩阵的同构，其中 \(A\) 映为 \(v^{\dagger}Aw\).
同样，我们可以定义左根和右根和非退化形式. 并且 \(\dim V=\dim W\) 时，左根 \(=\{0\}\) 与右根 \(=\{0\}\) 等价. 证明 Sesquilinear 相关的性质可以直接调用 Bilinear 的性质，因为 \(B:V\times W\to C\) 和 \(B':\overline V\times W\to C\) 相等. 同样，非退化当且仅当所对应的矩阵 \(A\) 可逆.
参考讲义：李文威-代数学讲义