2025-02-24
考虑在 \([a,b]\) 上定义的函数 \(f\). 我们取一个分割 \(\Delta:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\)，划分成 \(n\) 个段. 然后我们从每段中随便取一个 \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\)，作为这个段的代表. 那么就可以得到一个有关类似"面积"或"期望"的式子 \(\sum f(\xi_i)\Delta_i\)，其中 \(\Delta_i=x_{i}-x_{i-1}\). 令 \(\lambda(\Delta)=\max \Delta_i\)，那么在 \(\lambda(\Delta)\to 0\) 的时候，\(\sum f(\xi_i)\Delta_i\) 就应该趋向于一个真实的"面积".
于是，若 \(\lambda(\Delta)\to 0\) 的时候，存在极限 \(\lim \sum f(\xi_i)\Delta_i\)，那么就称 \(f(x)\) 是 Riemann 可积的. 同时，将这个极限 \(I\) 记作 \(\int_a^b f(x)dx\).
关于判断一个函数是否 Riemann 可积，有 Lesbegue 定理：函数在闭区间上 Riemann 可积等价于函数有界且间断点为零测度集.
后者的定义就是说，对于任意 \(\varepsilon\)，存在可数覆盖，将点集覆盖并且总长不超过 \(\varepsilon\).
直观上是很容易理解的. 但是严谨证明是略复杂的. 下面引入一个比较有道理的东西.
Darboux 和：上面那个定义给人最不便的地方是 \(\xi_i\) 是任选择的. 那么对于一段 \([x_{i-1},x_i]\)，令 \(m_i\) 为下确界，\(M_i\) 为上确界，那么可以引入达布小和 \(\underline{S}(\Delta)=\sum_{k=1}^{n}m_k\Delta_k\)，以及大和 \(\overline{S}(\Delta)=\sum_{k=1}^{n}M_k\Delta_k\). 若两者能有相同极限 \(I\)，那么显然函数就是 Riemann 可积的. 相反，若黎曼可积，那么显然两者也有相同极限 \(I\).
先研究有关达布大/小和的性质. 首先对于分割 \(\Delta\)，如果我们将它加细（即多划几刀），那么 \(\underline S\) 会变大，\(\overline S\) 会变小. 这启发我们当 \(\Delta\) 越来越细致，\(\lambda(\Delta)\to 0\) 的时候，\(\lim \underline S=\sup \underline S\) 而 \(\lim \overline S=\inf \overline S\). 当然注意这是在 \(f\) 有界 \(M\) 的情况下.
证明考虑用定义. 对于任意 \(\varepsilon\)，令上确界为 \(I\) 由上确界的定义可知存在 \(\Delta_0\) 使得 \(\underline S>I-\frac{\varepsilon}{2}\). 令段数为 \(n\)，那其他的 \(\underline{S}(\Delta)\) 最小也不会比这个减掉 \(2nM\) 更小了，于是取 \(\delta=\frac{\varepsilon}{4nM}\) 即可.
这带来了一个重要的有关 振幅 的引理：令一段的振幅 \(w_i=M_i-m_i\)，那么 Riemann 可积等价于对于任意 \(\varepsilon\)，存在 \(\Delta\) 使得 \(\sum w_k\Delta_k<\epsilon\).
接下来就是考虑去推导 \(\sum w_k\Delta_k<\epsilon\) 和间断点为零测度集之间的等价关系了.
首先前者推后者. 令间断点集合为 \(E\). 对于 \(E\) 中的点 \(x\in E\)，令 \(w_x\) 表示 \(x\) 周围小领域的振幅的极限.
令 \(P_k\) 为满足 \(w_k>\frac{2M}{k}\) 的点组成的集合. 对于任意 \(\delta\)，我们只需要对任意 \(k\) 证明存在一个覆盖使得总长 \(<\frac{\delta}{2^k}\)，那么就大功告成了.
另一方面，对于任意一个 \(\varepsilon\)，取其相应的 \(\Delta\). 令 \(Q\) 为 \(\Delta\) 中包含 \(P_k\) 中点的段的集合，那么 \(\varepsilon>\sum w_i\Delta_i>\frac{2M}{k}\sum \Delta_i\)，也就是说对于任意的 \(k\)，\(\sum \Delta_i\) 即覆盖总长，完全可以被这样一个 \(\varepsilon\) 给简单控制. 取 \(\varepsilon=\frac{\delta k}{2^k2M}\) 即可.
然后后者推前者. 我们的大体想法是，间断点虽振幅不可控但是 $$ 可控，于是运用有限开覆盖的 Lesbegue 数将其控制. 但实际上我们可以推对任意 \(\lambda(\Delta)<\delta\) 的 \(\Delta\) 都成立.
对于任意 \(\varepsilon\)，首先对于每个 \(x\in E\) 取小领域 \(U(x,\delta_x)\) 使得总长 \(<\frac{\varepsilon}{4M}\). 同时，对每个连续点取小领域使得振幅 \(<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\). 用这些小区间形成 \([a,b]\) 的有限开覆盖. 于是存在 Lesbegue 数 \(\hat \delta\)，使得任 \(|x_1-x_2|<\hat\delta\) 使得存在开区间同时覆盖 \(x_1,x_2\). 那么对于任意 \(\lambda(\Delta)<\delta\) 的 \(\Delta\)，任意的分割的段都已经被控制了，于是显然 \(\sum w_k\Delta_k<\varepsilon\).