我们对于域 \(F\)，可以自然得到其向量空间 \(A\)，其支持加法和纯量乘法.
但是如果我们希望 \(A\) 能够有一个我们对“代数”的想象，成为一个环，那么我们还应当希望 \(A\) 具有一个乘法的结构. 回忆环的乘法的性质，乘法本质上就是一个 \(A\times A\to A\) 的双线性映射. 用张量的语言描述，这也就等价于 \(A\otimes A\to A\) 的线性映射.
具有这样的结构的 \(A\) 称为 \(F-\)代数. 其满足以上性质的子空间&子环称为其子代数.
举例：\(F[X]\) 就是 \(F-\)代数，\(M_{n\times n}(F)\) 也是 \(F-\)代数.
那么我们能不能更加广泛地得到一个对于 \(F-\)代数的构造呢？于是我们引出了张量代数.
张量代数：对于 \(F\) 的向量空间 \(V\)，定义 \(T(V)=\bigoplus_{n\ge 0} V^{\oplus n}\). 那么 \(T(V)\) 形成了 \(F-\)代数结构. 其中，线性映射 \(V^{a}\otimes V^{b}\to V^{a+b}\) 映 \((x_1\otimes \dots\otimes x_a)\otimes(y_1\otimes \dots y_ b)\to x_1\otimes \dots \otimes x_a\otimes y_a\otimes\dots y_b\). 然后通过这个定义，就可以直接延拓到 \(T(V)\) 上的乘法，因为 \(\oplus\) 和 \(\otimes\) 之间的分配律.
\(T(V)\) 某种程度上也还是一个 \(F\) 的向量空间. 假如 \(V\) 的基为 \(v_1,\dots,v_n\)，那么 \(T(V)\) 的基就应该是对于所有 \(m\le n\) 且 \(i_1,\dots,i_m\) 遍历 \(I^m\)，所有的 \(v_{i_1}\otimes \dots \otimes v_{i_m}\). 这无非是“多维数组”结构的一个推论. 也就是说，\(T(V)\) 可以对应所有 \(m\) 维数组的直和.
然后再看诱导同态. 其实这和范畴论中函子的概念是很类似的. 任何线性映射 \(\varphi:V\to W\) 都可以诱导唯一的 \(F-\)代数同态 \(T(\varphi):T(V)\to T(W)\).
然后看一下商代数. 对于 \(F-\)代数 \(A\) 的理想 \(I\)，\(I\) 应当为其子代数，称商环\(A/I\) 为 \(A\) 对 \(I\) 的商代数.
张量代数中比较特殊且重要的研究对象是对称代数与外代数.
在 \(T(V)\) 中，定义 \(I_{sym}\) 为形如 \(x\otimes y-y\otimes x\) 的元素生成的理想，\(I_{\wedge}\) 为形如 \(x\otimes x\) 的元素生成的理想. 定义 \(Sym(V)=T(V)/I_{sym}\)，\(\bigwedge(V)=T(V)/I_{\wedge}\).
然后我们规定一下 \(I_{sym}^m=I_{sym}\cap V^{\otimes m}\)，\(I_{\wedge}\) 同理，那么就可以得到 \(Sym^m(V)=V^{\otimes m}/I^m_{sym}\)，\(\bigwedge^m (V)=V^{\otimes m}/I^{m}_{\wedge}\).
从 \(V^{\otimes m}\) 到 \(Sym^m\) 和 \(\bigwedge^m\) 的映射是商映射. 记 \(x_1\otimes\dots\otimes x_m\) 在其中的像分别为 \(x_1\dots x_m\) 和 \(x_1\wedge\dots\wedge x_m\). 于是，作为外代数，乘法分别用 \(\cdot\) 和 \(\wedge\) 表示. 于是对于 \(x\in V^{\otimes a}\) 和 \(y\in V^{\otimes b}\)，\(xy=yx\) 而 \(x\wedge y=(-1)^{ab}y\wedge x\).
我们回到张量积的泛性质. 对于对称线性形式 \(C\in Mul(V^m;M)\)，其诱导同构 \(Hom(Sym^m(V),M)\)；而交错线性映射 \(C\) 则诱导同构 \(Hom(\bigwedge^m(V),M)\).
直观感受一下，\(Sym^m(V)\) 就是一个对称的多维数组，\(\bigwedge^m(V)\) 就是一个交错的多重数组，即作用一个 \(\sigma\) 后相当于乘上 \((-1)^{sgn(\sigma)}\).
从基的角度看，\(\dim \bigwedge^m(V)=\binom{n}{m}\)，因为所有满足 \(i\) 递增的 \(v_{i_1}\wedge\dots\wedge v_{i_m}\) 构成了基. 首先其生成是显然的，证明只需要考虑线性无关. 若 \(\sum c_{i_1,\dots,i_m}v_{i_1}\wedge\dots\wedge v_{i_m}=0\)，则对任意 \(i_1<\dots<i_m\)，令子空间 \(V'=\sum Fv_{i_k}\)，定义 \(V\to V'\) 的线性映射 \(\varphi\) 为 \(\varphi(v_{i_k})=v_{i_k}\) 而其他 \(\varphi(v_j)=0\)，那么 \(\varphi\) 所诱导的 \(\bigwedge^m(\varphi)\) 会将所有其余的像映成 \(0\) 而只有 \(v_{i_1}\wedge\dots\wedge v_{i_m}\) 映为本身. 带入上式得到 \(c_{i_1,\dots,i_m}=0\).
这件事情放到对称代数去理解的话，我们会发现这个对称代数完全等同于 \(F\) 上的多项式环 \(F[X]\)，因为\(Sym^m(V)\) 等同于 \(F[v_1,\dots,v_m]\)！同构的各个方面都是显然的.
于是我们接下来将目光着重放在看上去更加独特的外代数上.
外代数的 \(sgn(\sigma)\) 不禁让我们想到行列式. 它的确和行列式有密切的关系.
对于 \(V\) 和 \(\varphi\in End(V)\)，行列式 \(\det \varphi\) 的定义是对于所有 \(n\) 元交错形式 \(D(\varphi(x_1),\dots,\varphi(x_n))=\det \varphi D(x_1,\dots,x_n)\). 于是这个定义很轻松地可以转化为外代数的描述：\(\bigwedge^n(\varphi)=(\det \varphi)\bigwedge^n(id)\)，并且这个式子能成立的原因也可以直接使用 \(\dim \bigwedge^n(V)=1\) 来证明.
而另一方面，取基 \(v_i\) 后用矩阵的写法展开，\(\bigwedge^n(\varphi)(v_1\wedge\dots\wedge v_n)=\sum a_{i_1,1}\dots a_{i_n,n} v_{i_1}\wedge\dots\wedge v_{i_n}\). 由于其交错性，当有 \(i_{j}=i_{j'}\) 时 \(v_{i_1}\wedge\dots\wedge v_{i_n}=0\)，而对于 \(i_j\) 为排列的时候 \(v_{i_1}\wedge\dots\wedge v_{i_n}=(-1)^{sgn(\sigma)}v_{1}\wedge\dots\wedge v_{n}\)，于是就能得到 \(\det\) 的表达式.
参考讲义：李文威-代数学讲义