张量积旨在解决这样一个将多重线性映射转化为普通线性映射的问题：对于已确定的向量空间 \(V_1,\dots,V_k\)，我们能否找到一个空间 \(L _{univ}\)， 使得可以多重线性地先将 \(V_1\times \dots V_k\to L_{univ}\)，然后就可以将任意多重线性映射 \(M:V_1\times \dots \times V_k\to L\)，转化为 \(L_{univ}\) 到 \(L\) 的线性映射 \(\varphi\). 而对于线性映射，我们就有更多的工具来解决问题.
我们先将目光聚焦在最为基本的双重线性映射问题上. 即对于向量空间 \(V,W\)，我们希望能够确定一个空间 \(L_{univ}\)，配有双重线性映射 \(B_{univ}:V\times W\to L_{univ}\)，使得对于双重线性映射 \(B:V\times W\to L\)，都可以转化为 \(\varphi:L_{univ}\to L\)，即 \(B(v,w)=\varphi(B_{univ}(v,w))\).
构造 \(B_{univ}\) 的方式如下：首先我们先生成一个最泛的向量空间 \(F^{\oplus(V\times W)}\)，因为里面的所有元素应当可以表示成 \(\sum a_{v,w}(v,w)\). 然后再用商掉一个核的方式来强制让某些值为 \(0\)：定义 \(N\) 为由所有 \((v+v',w)-(v,w)-(v',w)\)，\((v,w+w')-(v,w)-(v,w')\)，\((tv,w)-t(v,w)\)，\((v,tw)-t(v,w)\) 生成的子空间，则定义 \(L_{univ}\) 为 \(F^{\oplus(V\times W)}/N\)，并配有 \(B_{univ}(v,w)=(v,w)+N\).
容易证明 \(B_{univ}\) 的双线性性. 然后我们再从 \(B\) 所唯一确定的线性映射 \(\Phi:F^{\oplus(V\times W)}\to L\) 诱导得到 \(\varphi:L_{univ}\to L\). 我们定义二元运算符 \(V\otimes W\) 得到 \(B _{univ}(V,W)\)，其中 \((v,w)\) 映到 \(v\otimes w\).
对多重线性映射，上述的描述是类似的，于是不再赘述.
我们可以先通过上述定义来推导出关于张量积的一些基本性质，然后再看在取基的情况下，其一个广为人知的“多维数组”的形象.
张量积有如下（直观上显然）的性质：
- 结合律：\(A\otimes B\otimes C\) 同构于 \(A\otimes (B\otimes C)\)，也同构于 \((A\otimes B)\otimes C\).
- 单位元：\(V\) 同构于 \(F\otimes V\)，也同构于 \(V\otimes F\).
- 交换律：\(A\otimes B\) 同构于 \(B\otimes A\).
- 与直和的交换：对于有限的直和分解 \(V=\bigoplus V_i\)，\((\bigoplus V_i)\otimes W\) 同构于 \(\bigoplus (V_i\otimes W)\).
下面关于的证明，无非是多次使用了，多重线性映射 \(V_1\times \dots \times V_k\to X\) 可以诱导出 \(V_1\otimes\dots\otimes V_k\to X\) 的线性映射.
结合律：考虑只需要先描述出两个线性映射 \(\alpha:A\otimes (B\otimes C)\to A\otimes B\otimes C\) 和 \(\beta:A\otimes B\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)\) ，然后验证 \(\alpha\beta=\beta\alpha=id\) 即可. 关于 \(\beta\)，由定义知 \(A\times B\times C\to A\otimes(B\otimes C)\) 三重线性，故直接诱导出 \(\beta\).
而关于 \(\alpha\)，首先先固定 \(a\in A\)，则 \(Bil_a:B\times C\to A\otimes B\otimes C\) 关于 \(B,C\) 双线性，则诱导 \(\varphi_a:B\otimes C\to A\otimes B\otimes C\). 于是得到映射 \(A\times (B\otimes C)\to A\otimes B\otimes C\)，可以验证其关于所有变元都线性，故该映射是双线性映射，诱导出 \(\alpha:A\otimes (B\otimes C)\to A\otimes B\otimes C\).
而 \(\alpha\beta\) 映所有 \(a\otimes b\otimes c\to a\otimes b\otimes c\)，而关于 \(\beta\alpha\)，固定 \(a\) 后映 \(b\otimes c\to b\otimes c\)，于是映 \(a\otimes (b\otimes c)\to a\otimes(b\otimes c)\). 故两者都为 \(id\).
单位元的验证也是考虑诱导出线性映射. 映 \(v\) 为 \(1\otimes v\)，即得到了 \(V\to F\otimes V\) 的线性映射. 而双线性映射 \(B(t,v)=tv\) 则直接诱导 \(\varphi:F\otimes V\to V\)，其中 \(t\otimes v\to tv\). 容易验证两者的合成为 \(id\).
交换律则可以定义双线映射 \(V\times W\to W\otimes V\)（\((v,w)\to w\otimes v\)）诱导出 \(V\otimes W\to V\otimes W\). 反方向是类似的. 容易验证两者的合成为 \(id\).
关于和直和的交换：\(Bil(\bigoplus V_i,W;L)\) 同构于 \(\prod Bil(V_i,W;L)\)，同构于 \(\prod Hom(V_i\otimes W,L)\)，同构于 \(Hom(\bigoplus(V_i\otimes W),L)\). 这诱导出同构 \((\bigoplus V_i)\otimes W\to \bigoplus (V_i\otimes W)\).
直和的性质直接让我们我们得到其与“多维数组”的联系：
- 对于 \(V\) 有基 \(v_1,\dots,v_n\)，即 \(V=\bigoplus_i Fv_i\)；\(W\) 有基 \(w_1,\dots,w_m\)，即 \(W=\bigoplus_j Fw_j\).
- 则 \(V\otimes W=\bigoplus_{i,j}(Fv_i\otimes Fw_j)\tilde=\bigoplus_{i,j} F(v_i\otimes w_j)\). 即 \(V\otimes W\) 以 \(\{v_i\otimes w_j\}\) 为基，\(\dim V\otimes W=\dim V\times \dim W\).
- 那么根据关于 \(F\otimes V\) 的结论，对于 \(v=\sum a_iv_i\)，\(w=\sum b_jw_j\)，我们映 \((v,w)\) 为 \(\sum_{i,j} a_ib_j(v_i\otimes w_j)\).
容易想象所有 \(V\times W\to L\) 的双线性映射都可以表示成这个 \(\dim =nm\) 的“二维数组”到 \(L\) 的线性映射. 对于多重线性映射也是一样的.
下面看一下矩阵的 Kronecker 积.
首先对于 \(f_i:V_i\to W_i\)，唯一存在 \(\bigotimes f_i:\bigotimes V_i\to \bigotimes W_i\). 证明还是直接考虑 \((v_1,\dots,v_n)\to \bigotimes f(v_i)\) 的多重线性映射可以直接诱导出上述的 \(\bigotimes f_i\).
考虑 \(n=2\) 的情况，即我们有 \(A:V\to W\) 和 \(B:V'\to W'\)，则我们理应可以存在一个 \(A\otimes B:(V\otimes V')\to (W\otimes W')\)，而 \(A\otimes B\) 称为矩阵的 Kronecker 积，这个 \(nm\times nm\) 的矩阵应该长成一个分块矩阵，其中第 \((i,j)\) 块为 \(a_{i,j}B\).
参考讲义：李文威-代数学讲义