模是这样的一个东西：对于一个环 \(R\)，那么令 \(R-\)模 \(M\) 为由以下两个资料确定的代数结构：
一个加法群 \((M,+)\).
一个 \(R\) 对于群 \(G\) 内元素的纯量乘法. 即对于 \(r\in R\)，\(x\in M\)，能够定义出 \(r\cdot x\in M\).
这个乘法需要满足你对这样的乘法和加法的结构的一切想象.
定义了 \(r\cdot x\) 的称为左 \(R\) 模，而也可以定义 \(x\cdot r\)，称为右模. 下面默认为左模.
如果我们令 \(R\) 为域，那么实际上 \(F -\)模 可以发现就是一个 \(F-\)向量空间. 所以在很多情况下直观地将 \(M\) 看作某个向量去看也是可以理解的.
和向量空间和群的情景类似，我们可以定义如下东西：
子模：对于模 \(M\)，其子模是其一个子群，并且满足对纯量乘法封闭.
\(\sum_{i\in I} M_i=\{\sum_{i\in I} m_i \mid m_i\in M_i\}\)，其中求和为有限和.
生成子模：对于子集 \(S\subset M\)，定义其生成子模为 \(\langle S\rangle=\sum_{s\in S} r_ss\)，\(r_s\in R\). 显然 \(\langle S\rangle\) 为包含 \(S\) 的最小子模.
循环模：将 \(x\) 元素的生成子模写作 \(Rx\). 将所有能表示成 \(Rx\) 的模称为循环模.
同样，同态，同构，核，商这种也和向量空间类似.
同态：\(M,M'\) 都为 \(R\) 模，则定义 \(M\to M'\) 的同态为保加法和纯量乘法的映射.
记所有同态形成的集合为 \(Hom(M,M')\). 显然 \(Hom(M,M')\) 可以被升级为 \(R\) 模.（此处升级的意思为对于 \(R\) 定义一个纯量乘法）.
具体而言，对于 \(f:x\to f(x)\)，纯量乘法只需要变成 \((r\cdot f)=x\to r\cdot f(x)\).
商模：对于 \(N\) 为 \(M\) 的子模，则可以在商群 \(M/N\) 上定义纯量乘法 \(r\cdot (x+N)=rx + N\). 由于子模对乘法封闭所以是良定义的.
商映射 \(q:M\to M/N\) 为模同且 \(\ker(q)=N\).
可以定义 \(coker(f)=M'/im(f)\). 于是 \(f\) 满当且仅当 \(coker(f)=\{0\}\).
群论中的诱导同态相关的东西也可以搬到模论上. 权当对诱导同态相关概念的复习.
对于同态 \(f\)，子模 \(N\subset \ker f\)，则 \(f\) 诱导同态 \(\overline f:M/N\to M'\) 满足 \(f=\overline fq\).
其中 \(\overline f(x+N)=f(x)\).
取 \(N=\ker f\) 即给出了 \(M/\ker f \to \text{im }f\) 的同构.
对于同态 \(f\)，子模 \(N,N'\) 满足 \(f(N)\subset N'\)，则 \(f\) 诱导同态 \(\overline f:M/N\to M'/N'\) 满足 \(q'f=\overline f q\).
其中 \(\overline f(x+N)=f(x)+N'\).
以上的内容都是较为基础且不涉及太多关键内容的东西.
下面来看直积与直和. 这个定义和向量空间的情况没有区别.
直和分解：对于模 \(M\) 的一串子模 \((M_{i})_{i\in I}\)，若这些子模两两无交，则称这串子模为 \(M\) 的直和分解. 与向量空间类似，直和分解满足每个 \(x\in M\) 都可以唯一写成 \(x=\sum x_i\)，\(x_i\in M_i\)；并且考虑外直和 \(\oplus_i M_i\) 应该与 \(M\) 同构.
这衍生出一个重要的概念，自由模. 对于集合 \(X\)，令 \(X\) 上的自由模为 \(R^{\oplus X}=\oplus_{x\in X} Rx\). 每个属于该自由模的 \(m\) 都有唯一的表法 \(m=\sum_{x\in X} r_x x\). 我们称 \(X\) 为该自由模的基.
挠元. 若 \(x\in M\) 满足 \(rx=0\) 的充分必要条件是 \(r=0\)，则称 \(M\) 无挠. 否则称 \(x\) 为一个挠元. 自由模没有非零挠元. 因为如果有非零挠元的话，那 \(x\) 的表法就不唯一了. 虽说没有非零挠元不代表一定是自由模！
一个例子，取 \(R=\mathbb Z\) 且 \(M\) 为 \(\mathbb Z\) 向量空间，则显然 \(R\) 为自由模，因为取 \(x_i=(0,\dots,1,\dots,0)\)，其中第 \(i\) 个位置为 \(1\) 即可.
又比如，取 \(R=\mathbb Z\) 且 \(M\) 为 \(\mathbb Z/3\mathbb Z\) 向量空间，则 \(R\) 并非自由模. 对于所有元素，取 \(r=3\) 即可发现其为挠元. 于是可以发现所有 \(m\) 的表法都是不唯一的.
我们把视线放到主理想整环上. 域上的向量空间显然是自由的，主理想整环的区别是可能会产生挠元 \(x\)，并且能零化 \(x\) 的元素构成了一个理想 \(Ann(x)\). 那我们就可以想，能不能将这个模拆成两个部分，一个部分是自由的，而另一部分全部是挠元. 那么对于另一个部分，可以找到所有理想的交（即 \(lcm\)），这个交显然零化所有的理想. 然后把这个交给商掉之后，应该还能继续区分出自由的部分和挠元的部分. 不断这么做，就引出了下面的一个很重要的定理：
主理想整环上有限生成模的分类定理 / 结构定理：
对于 PID \(R\) 和 \(R\) 模 \(M\)，唯一存在 \(M\) 的分解使得 \(M=(R/I_1)\oplus\dots\oplus(R/I_k)\oplus E\)，
其中 \(E\) 是自由模，且 \(I_1\supset I_2\supset \dots I_k\).
这串真理想链 \(I_1\supset I_2 \supset ...\supset I_k\supset \{0\}= ...= \{0\}\)（\(rk E\) 个 \(\{0\}\)）称为 \(M\) 的不变因子.
证明较为困难，但是比较通俗不严谨的核心逻辑就是前面的那段话.
这个能给我们带来一个很重要的好东西，就是矩阵的标准型.
参考讲义：李文威-代数学讲义