收敛半径
对于幂级数 \(\sum a_n x^n\)，我们先关心其收敛的区间.
性质：若 \(\sum a_nx_1^n\) 收敛，则对于任意 \(|x_0|<|x_1|\)，\(\sum a_n|x_0|^n\) 收敛.
证明：\(a_n|x_0|^n=|a_nx_1^n||\frac{x_0}{x_1}|^n\). 由于 \(\sum a_n x_1^n\) 收敛所以 \(a_nx_1^n\to 0\)，而 \(\frac{x_0}{x_1}<0\) 故收敛.
这告诉我们一个推论，存在一个收敛半径 \(R\)，使得 \(x<R\) 时绝对收敛而 \(x>R\) 时发散. \(x=R\) 时则是具体情况具体分析.
如何求解 \(R\)？我们实际上只需要分析 \(\sum |a_n| x^n\) 的正项级数即可.
令 \(\rho=\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}\)，则 \(R=\frac{1}{\rho}\). 这是达朗贝尔判别法的直接结果. 注意到这里可以直接取上极限.
当然对于一些情况我们也可以使用 \(\rho=\lim\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\). 但注意这里不能是上极限. 这里用上下极限只能得到关于 \(R\) 的不等式.
幂级数有很多很好的性质. 第一点是幂级数是内闭一致收敛的. 这是显然的.
第二点是若在端点处收敛，则在整个区间是一致收敛的. 考虑 \(a_nx^n=a_nR^n(\frac{x}{R})^n\)，而由 Abel 判别法，\(\sum a_nR^n\) 收敛而 \((\frac{x}{R})^n\) 单调有界固一致收敛.
求导和积分
由于一致收敛性，我们可以知道幂级数的连续性是显然的，并且求导也相当于逐项求导.
幂级数的求导不会改变收敛半径. 用 \(\sqrt[n]{a_n}\) 验证即可.
但是端点处收敛性是改变的，比如 \(\sum \frac{x^n}{n}\) 在 \(-1\) 处收敛但是求导后不收敛.
积分也是逐项积分，且也不改变收敛半径，不必多说.
eg. 求 \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\).
令 \(f(x)=\sum \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\)，显然 \(R=1\).
对其求导得 \(f'(x)=\sum (-1)^{n-1}x^{n-1}=\frac{1}{1+x}\).
故 \(f(x)=\ln(1+x)+C\)，带入 \(x=0\) 知 \(C=0\).aaa
\(f(x)\) 在 \(x=1\) 处收敛，故连续，由连续性知 \(f(1)=\ln 2\).
eg. 求 \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}\).
还是令 \(f(x)=\sum a_nx^n\)，显然 \(R=1\).
设 \(g(x)=\sum (-1)^n x^{2n}\)，则对 \(g\) 做变上限积分得到 \(f(x)\).
而 \(g(x)=\frac{1}{1+x^2}\)，积分后变成 \(\arctan x\).
同样由收敛和连续性知 \(f(1)=\arctan 1 =\frac{\pi}{4}\).