令 \(a_n(x)\) 的部分和为 \(S_n(x)\)，则若 \(S_n(x)\) 一致收敛于 \(S(x)\)，则称 \(\sum a_n(x)\) 一致收敛于 \(S(x)\).
一个简单但重要的命题：\(\sum a_n(x)\) 一致收敛，则 \(a_n(x)\) 一致收敛于 \(0\). 比如这个就能说明 \(\sum x^n\) 不一致收敛.
DA 判别法：和之前是类似的. 还是需要 \(a_n(x)\) 关于 \(n\) 单调.
- \(a_n(x)\) 单调一致收敛于 \(0\)，\(\sum b_n(x)\) 一致有界，则 \(a_nb_n(x)\) 一致收敛.
- \(a_n(x)\) 单调一致有界，\(\sum b_n(x)\) 一致收敛，则 \(a_nb_n(x)\) 一致收敛.
下面研究一个典型例子：\(\sum \frac{\sin nx}{n}\).
首先它不一致收敛. 证明用 Cauchy. 取 \(x=\frac{\pi}{4n}\)，则 \(\sum_{k=n}^{2n}\frac{\sin \frac{\pi}{4}}{n}\ge \frac{\sqrt 2}{4}\).
但是它内闭一致收敛. 这是因为 \(\sum \sin nx=\frac{2}{\sin \frac{2}{x}}(\cos\frac{x}{2}-\cos(n+\frac{1}{2})x)\) 在内部闭区间上一致有界，由 DA 判别法知其一致收敛.
而它的核函数是可以求的：\(x=0\) 时取 \(0\)，而 \(x\in(0,\pi)\) 时取 \(\frac{\pi-x}{2}\). 这是一个相当反直觉的现象，所有的 \(2k\pi\) 处都是很反直觉的间断的. 这是 Gibbs 现象.
我们来证明这一点. 这个证明很 Tricky，需要把 \(\frac{\sin nx}{n}=-\int_x^{\pi} \cos ktdt\)，然后交换 \(\int\) 和 \(\sum\)，得到 \(-\int_x^{\pi}\sum_{k=1}^n\cos ktdt\)，然后变换成 \(-\int_x^{\pi}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin \frac{t}{2}}dt+\frac{\pi-x}{2}\).
而由 Riemann Lebesgue 引理我们知道 \(n\to +\infty\) 时，这坨积分 \(\to 0\). 所以结果成立.
eg：\(\sum_{k=1}^{+\infty} k^2e^{-xk}\) 在 \(x\in(0,+\infty)\) 无穷阶可导. 实际上可以直接证明其内闭一致收敛然后就是每个项挨个求导.
eg：\(I=\int_0^1 \frac{(\ln x)^2}{1-x}dx=2\sum_1^{+\infty}\frac{1}{n^2}\). 变成 \(\int_0^1 \sum (\ln x)^2x^n\) 之后发现其一致收敛（\(a_n(x)\) 于 \(e^{-\frac{2}{n}}\) 取最大值，计算发现 \(a_n(x)\le \frac{2}{n^2}\) 一致收敛）即可.