若一个点在任何一个小领域内都无界，则称这个点是瑕点.
考虑最经典的瑕积分 \(\int_0^1\frac{dx}{x^p}\). 带入定义得应该等于 \(\lim_{\delta\to 0}(\frac{1}{1-p}x^{1-p})|_{\delta}^1\). 那么在 \(p\ge 1\) 时发散，而 \(p<1\) 时收敛且等于 \(\frac{1}{1-p}\).
注意这和 广义积分的情景恰好相反.
广义积分的 Cauchy 准则，放缩，极限，DA 判别法对于瑕积分同样适用. 下面来看两个比较经典的瑕积分的例子.
Beta 函数：\(\Beta(p,q)=\int_0^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx\).
处理 Beta 函数需要拆分成两段 \(\int_0^\frac{1}{2}\) 和 \(\int_\frac{1}{2}^{1}\). 第一段我们知道要满足 \(p>0\) 才收敛，而第二段要 \(q>0\) 才收敛.
Gamma 函数：\(\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}dx\).
还是拆成 \(\int_0^1\) 和 \(\int_1^{+\infty}\). 对于后者，取 \(g(x)=\frac{1}{x^2}\) 可以得知 \(f/g\to 0\)，故收敛. 而对于前者，取 \(g(x)=\frac{1}{x^{1-\alpha}}\) 可以得知 \(f/g\to 1\)，故要求 \(\alpha>0\).
如果我们对 Gamma 函数做分部积分，可以得到 \(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\)，故可以看作一个实数域上的阶乘的拓展.