2025-03-05
对于半双线性形式 \(V\times V \to \mathbb C\)，\(\epsilon\in\{-1,1\}\)，称该形式为 \(\epsilon\)-Hermite 形式，若 \(\epsilon\overline{B(w,v)}=B(v,w)\)，即对应的矩阵 \(\epsilon A^{\dagger}=A\)，将这样的矩阵称为 \(\epsilon\)-Hermite 矩阵. 反 Hermite 矩阵和 Hermite 矩阵实质上只是差了一个 \(i\). 所以下面将讨论限定在 Hermite 形式上.
对于非退化的 Hermite 形式 \(B\)，\(T\) 的左伴随与右伴随等同. 并且若 \(TT^*=T^*T\)，则称 \(T\) 为正规算子. 同样我们也可以定义出自伴与反自伴算子. 这两者都显然是正规算子. 并且 \(T\) 自伴当且仅当 \(iT\) 反自伴.
Hermite 形式也可以像实的情况一样做分类. 这等同于做变量的替换，也等同于矩阵做合同变换. 于是任何 Hermite 形式都可以化作 \(\sum_{i=1}^p |x_i|^2--\sum_{i=p+1}^{p+q}|x_i|^2\)，其中 \(r=p+q\) 为该 Hermite 形式的秩. 惯性定理也与实情况别无二致.
同样的，我们可以定义 Hermite 内积. 即满足正定性的 \(V\) 上的 Hermite 形式. 定义长度 \(||v||=\sqrt{(v|v)}\). 满足 \((v|w)=0\) 的向量是正交的，于是我们可以定义正交子集. 正交子集线性无关，因为对于任意 \(v=\sum a_iv_i\)，这个表示一定长成 \(a_i=\frac{(v_i|v)}{(v_i|v_i)}\). 于是我们可以定义正交直和分解. 我们还可以运用 Gram-Shmidt 正交化获得 QR 分解.
\(||v+w||=(v+w|v+w)=||v||^2+||w||^2+(v|w)+(w|v)=||v||^2+||w||^2+2Re(v|w)\). 这也就意味着 \((v|w)\) 由距离确定.（因为 \(Im(v|w)=Re(iv|w)\)）. 这也就意味着保距的同构也保内积.
然后有 Cauchy 不等式 \(|(v|w)|^2\le (v|v)(w|w)\). 还是从取等条件入手，\(0\le ||v+tw||^2=(v|v)+(tw|tw)+2Re(v|tw)\)，带入 \(t=-\frac{(w|v)}{(w|w)}\)，得到 \((tw|tw)=\bar tt(w|w)=\frac{(v|w)(w|v)}{(w|w)}\)，而 \(2Re(v|tw)=2Re(t(v|w))=-2\frac{(v|w)(w|v)}{(w|w)}\). 两者叠加立刻得到 \((v|v)-\frac{|(v|w)|^2}{(w|w)}\ge 0\)，并且线性相关时取等.
标准复内积：\((v|w)=\bar v\cdot w\). 任何的有限维复内积都可以通过取单位正交基，取 \(Tv_i=e_i\) 以同构于 \(\mathbb C^n\) 上的复内积空间.
定义 Unitary Operator（酉算子）为复内积空间的自同构. 也就是说有 \(T^{*}=T^{-1}\). 于是也可以定义酉矩阵为 \(A^{\dagger}=A^{-1}\) 的复矩阵.
参考讲义：李文威-代数学讲义